$[n]\coloneqq \{1,2,3,\dots,n\}$
$\mathbb{Z}_{\geq 0}\coloneqq \{0,1,2,3,\dots\}$
$\mathbb{Z}_{\gt 0}\coloneqq \{1,2,3,\dots\}$
集合 $S$ と $S$ 上の二項演算 $\text{op} : S\times S\rightarrow S$ の組み $(S, \text{op})$ であって以下の条件を満たすもの 簡単のため $\text{op}(a,b)$ を $a\cdot b$ で表す．
結合法則：$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ が任意の $a,b,c\in S$ について成立
単位元の存在：ある $e\in S$ が存在して任意の元 $a\in S$ について $a\cdot e = e\cdot a = a$
この性質を満たす $e$ を単位元という．以下断りのない限り $e$ と書いたら単位元を表す．
集合をあまり気にしない時は二項演算だけを指すことも多い．
例えば足し算 $(\mathbb{Z}_{\geq 0}, +)$ はモノイドである．（つまり $\text{op}(a,b)\coloneqq a+b$）
結合法則：任意の非負整数 $a,b,c$ について $(a+b) + c = a + (b+c)$ が成立 単位元：任意の非負整数 $a$ について $a+0 = 0+a=a$ が成立
また，累乗 $(\mathbb{Z}_{\geq 0}, \text{pow})$ はモノイドではない．（つまり $\text{op}(a,b)\coloneqq a^b$）
$(2\cdot(3\cdot2)) = 2^{(3^2)} = 2^9 = 512$ $((2\cdot3)\cdot2)) = (2^3)^2=8^2=64$ なので結合法則が成立していない
任意の $a,b\in S$ について $a\cdot b=b\cdot a$ が成立する時**可換(commutative)**という．
$(\mathbb{Z}{\geq 0}, +), (\mathbb{Z}{\geq 0}, \times),(\mathbb{Z}{\geq 0}, \max),(\mathbb{Z}{\geq 0}, \gcd),([10^9], \min),(\mathbb{Z}_{\geq 0}, \text{or})$
$(M_n(\mathbb{R}), \times)$ （$n$ 次正方行列の積）