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名大発の急成長企業3社が集結！名古屋のスタートアップのリアルを知る！ (2025/02/16 13:30〜)
「スタートアップに新卒で入ってみた素直な感想」的なのを話す予定で、競プロと業務の関連なんかも少しくらい話すかもしれません。
パラメータ $q$ を用いて自然数 $n$ や階乗 $n!$ 、二項係数 $\binom{n}{k}$ などを以下の様に拡張する。
$$ \begin{align*} [n]_q&\coloneqq 1+q+\cdots+q^{n-1} \\ [n]_q! &\coloneqq [1]_q[2]_q\cdots[n]_q \\ \binom{n}{k}_q&\coloneqq \dfrac{[n]_q!}{[k]_q![n-k]_q!} \end{align*} $$
これらは全て $\lim_{q\to 1}$ で元の定義と一致する。（例 : $\lim_{q\to 1} [n]_q = n$）
それぞれ以下の様に式変形も出来る。（ $q\neq 1$ ）
$$ \begin{align*} [n]_q &= 1+q+\cdots+q^{n-1} = \dfrac{1-q^n}{1-q}\\ [n]_q! &= [1]_q[2]_q\cdots[n]q = \dfrac{1}{(1-q)^n}\prod{i=1}^n (1-q^i)\\ \binom{n}{k}_q &= \dfrac{[n]q!}{[k]q![n-k]q!} = \dfrac{\prod{i=1}^n (1-q^i)}{\prod{i=1}^k (1-q^i)\prod{i=1}^{n-k} (1-q^i)} \end{align*} $$
$q$ に具体的な値を代入して計算するケースも多いが、一方で $q$ を変数とした母関数的に考えることもある。
この定義が組み合わせ論においてどのように使われるかをいくつか解説する。
$q$ が固定されている時は、通常の階乗や二項係数と同様に（法となる充分大きい素数をひとつ固定して）q-階乗を前計算しておくことでq-二項係数が高速に求められることに留意。